Stability and bifurcations analysis of a competition model with piecewise constant arguments. (4th June 2014)

• Record Type: Journal Article
• Authors: Kartal, S.; Gurcan, F.
• Is Part Of: Mathematical methods in the applied sciences. Volume 38:Number 9(2015:Jun. 15)
• Page Start: 1855
• Page End: 1866
• Publication Date: 2014-06-04
• Subjects: Mathematics -- Periodicals; Technology -- Mathematics -- Periodicals; 519
• DOI: 10.1002/mma.3196
• Languages: English
• ISSNs: 0170-4214

Abstract

<abstract abstract-type="main" id="mma3196-abs-0001"> <title>Abstract</title> <p id="mma3196-para-0001">In this paper, we investigate local and global asymptotic stability of a positive equilibrium point of system of differential equations <disp-formula content-type="mathematics" id="mma3196-disp-0001"><alternatives><inline-graphic mimetype="image" xlink:href="ark:/27927/pgjn61v8p8" xlink:type="simple" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" /><mml:math display="block" altimg="urn:x-wiley:1704214:media:mma3196:mma3196-math-0001" overflow="scroll" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable class="aligned"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right" /><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo class="MathClass-rel">=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-punc">, </mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="right" /></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right" /><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo class="MathClass-rel">=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo class="MathClass-bin">+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-bin">−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi><mml:mrow><mml:mo class="MathClass-open">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-close">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo class="MathClass-punc">, </mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math></alternatives></disp-formula></p> <p id="mma3196-para-0002">where t ≥ 0, the parameters r<sub>1</sub>, k<sub>1</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, r<sub>2</sub>, k<sub>2</sub>, and d<sub>1</sub> are positive, and [t] denotes the integer part of t ∈ [0, ∞ ). x(t) and y(t) represent population density for related species. Sufficient conditions are obtained for the local and global stability of the positive equilibrium point of the corresponding difference system. We show through numerical simulations that periodic solutions arise through Neimark–Sacker bifurcation. Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Ltd.</p> </abstract>