A necessary and sufficient condition for Hardy's operator in Lp(.)(0, 1). Issue 5 (29th October 2013)

• Record Type: Journal Article
• Authors: Mamedov, Farman I.; Mammadova, Firana M.
• Is Part Of: Mathematische Nachrichten. Volume 287:Issue 5/6(2014)
• Page Start: 666
• Page End: 676
• Publication Date: 2013-10-29
• Subjects: Mathematics -- Periodicals; 510.5
• DOI: 10.1002/mana.201200291
• Languages: English
• ISSNs: 0025-584X

Abstract

<abstract abstract-type="main"> <title> <x xml:space="preserve">Abstract</x> </title> <p>The equivalent conditions are proved for the Hardy inequality <disp-formula content-type="mathematics" id="mana201200291-disp-0001"><alternatives><inline-graphic mimetype="image" xlink:href="ark:/27927/pgg537sm83j" xlink:type="simple" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" /><mml:math display="block" altimg="urn:x-wiley:dummy:mana201200291:equation:mana201200291-math-0002" overflow="scroll" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.16em" /><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>, </mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>∥</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:msub><mml:mo>∥</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>, </mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>, </mml:mo><mml:mspace width="1em" /><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>, </mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>to be fulfilled in the norms of a Lebesgue space with variable exponent <alternatives><inline-graphic mimetype="image" xlink:href="ark:/27927/pgg537sm7rh" xlink:type="simple" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" /><mml:math display="inline" altimg="urn:x-wiley:dummy:mana201200291:equation:mana201200291-math-0003" overflow="scroll" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>, </mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives>. It is assumed that the function <alternatives><inline-graphic mimetype="image" xlink:href="ark:/27927/pgg537sm7qz" xlink:type="simple" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" /><mml:math display="inline" altimg="urn:x-wiley:dummy:mana201200291:equation:mana201200291-math-0004" overflow="scroll" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives> is monotone and positive on (0, 1).</p> </abstract>